3 时间和空间是一体的：1907年，爱因斯坦的数学老师赫尔曼·闵可夫斯基提出了四维时空的概念，将一维的时间和三维的空间紧密地结合在一起，形成了闵氏时空。在闵氏时空中，一个物体的运动不再仅仅是在三维空间中的位移，而是由三维空间坐标（x，y，z）和时间t共同来描述。从几何的角度来看，闵氏时空为狭义相对论提供了一种全新的理解方式，它表明时空在本质上可能是一种四维的几何结构。这种将时间和空间视为一体的观念，为爱因斯坦后来提出广义相对论奠定了坚实的基础，并且深刻地改变了人们对宇宙时空的认识。此部分与时间相关内容中的对应部分相互呼应，共同阐述了时空一体的重要概念及其在物理学发展中的关键意义，这里不再赘述其详细推导过程和复杂的数学表述。
4 空间是可以弯曲的：1915年，爱因斯坦发表了广义相对论，这一理论彻底改变了人们对空间的认识。根据广义相对论，有质量的物体不仅仅会弯曲周围的时空，而且空间本身也可以发生弯曲。空间的曲率可以通过测量三角形的内角之和来进行推断。在欧几里得几何中，三角形的内角之和等于180度，但在弯曲的空间中，这个结论不再成立。例如，如果在地球表面上画一个很大的三角形，由于地球表面是一个曲面，这个三角形的内角之和将会大于180度。然而，在实际操作中，要测量空间的曲率是非常困难的，因为我们需要非常精确的测量仪器和方法。科学家们曾经利用带有高精度陀螺仪的卫星绕地球进行实验，通过测量陀螺仪的进动来间接推断地球附近三维空间的弯曲情况。实验结果证实，地球附近的三维空间确实是弯曲的。此外，广义相对论还预言了一种非常奇特的天体——虫洞（也称为爱因斯坦 - 罗森桥）。虫洞是爱因斯坦引力场方程的一个特殊解，它表示在时空极度弯曲的情况下，可能会出现一种连接两个不同时空区域的通道。虽然虫洞在理论上是存在的，但目前我们还没有发现任何实际存在的虫洞，它仍然只存在于科学家们的理论研究和科幻作品之中。
5 空间是可以膨胀的：爱因斯坦在利用广义相对论的引力场方程对宇宙进行求解时，最初他认为宇宙应该是一个稳态的结构，即宇宙的大小不会发生变化。为了得到一个静态的宇宙解，他在引力场方程中加入了一个宇宙常数项。然而，在1929年，美国天文学家哈勃通过对星系的观测发现了一个惊人的现象：宇宙中的所有天体似乎都在远离我们，而且距离我们越远的天体，其退行的速度就越快，并且这种退行速度与距离之间呈现出一种线性的比例关系。这一现象被称为哈勃定律，它表明宇宙的空间正在不断地膨胀。就好像一个正在被吹大的气球，气球表面上的各个点（代表宇宙中的天体）之间的距离会随着气球的膨胀而不断增大。当爱因斯坦得知哈勃的发现后，他意识到自己之前加入宇宙常数项是一个错误的决定，并且他认为这是他一生中最大的错误。虽然在后来的研究中，宇宙常数又被重新引入物理学中，用来解释宇宙加速膨胀的现象，但这也充分说明了科学研究是一个不断探索和修正的过程。
6 真空并不空：随着对宇宙研究的深入，科学家们发现宇宙空间不仅在膨胀，而且还在加速膨胀。为了解释这种现象，物理学家们猜测在真空中可能存在一种特殊的能量，称为暗能量。暗能量具有一种非常奇特的性质，它会随着空间的增大而不断增大，正是这种特性导致了宇宙空间的加速膨胀。事实上，宇宙在诞生初期的快速膨胀（暴胀）也被认为是由于真空能的释放所引起的。此外，根据海森堡不确定性原理，在微观尺度下，真空中的能量并不会为零，而是存在着一种量子涨落现象，这被称为真空零点能。1948年，荷兰物理学家亨德里克·卡西米尔提出了一种检验真空零点能存在的方法，即通过测量两块平行金属板之间的微小吸引力来间接验证真空零点能。经过多年的努力，在1996年，物理学家们终于通过实验证实了真空零点能的存在。这一系列的发现表明，我们通常所认为的真空并不是真正的空无一物，而是充满了各种神秘的能量和微观现象。
7 普朗克长度并不是空间的最小单位：在量子力学中，普朗克长度是一个经常被提及的概念。很多人会错误地认为，普朗克长度就意味着空间是离散的，存在一个最小的空间单位，就像像素一样。但实际上，这种理解是不正确的。普朗克长度最初是在研究量子力学和引力理论的过程中，通过量纲分析计算得到的一个长度尺度。在这个极其微小的长度尺度下，量子效应和引力效应变得同样显着，而我们目前现有的物理学理论都无法很好地描述这个尺度之下的物理现象。这仅仅表明普朗克长度是我们目前的理论能够描述的极限，而并不代表宇宙时空本身就存在这样一个最小的空间单位。宇宙时空的微观结构可能比我们目前所想象的更加复杂和连续，也许存在着超越普朗克长度尺度的物理过程，只是我们目前的科学技术和理论水平还无法触及和解释。
8 三维空间是宇宙空间最稳定的维度：我们所生活的宇宙在宏观上呈现出三维空间的结构。为什么宇宙是三维的呢？有一种观点认为这可能只是一种巧合，或者是因为存在着其他维度的生命，只是我们还没有发现而已。然而，在2016年，有学者通过研究讨论认为，宇宙空间之所以是三维的，是因为三维空间是亥姆霍兹自由能（平均能量密度）最低的维度。在宇宙大爆炸之后的冷却过程中，空间的维度会逐渐收敛到三维。当宇宙的温度超过某一临界值时，空间的维度可以连续地发生变化；但是当宇宙的温度低于这个临界值时，根据热力学定律中的熵增原理，一个封闭系统的总熵不会减小，这就会禁止空间维度的转换。所以，在宇宙冷却到一定程度之后，空间的维度就被冻结在了三维。而且，要使宇宙的温度重新升高到临界温度以上，所需的能量是极其巨大的，以目前人类的科技水平来看，这是根本无法实现的。这也解释了为什么我们所观测到的宇宙是三维空间的稳定结构。
9 十维时空：超弦理论是现代物理学中一种非常重要的理论，它试图将广义相对论和量子力学统一起来。根据超弦理论，在宏观尺度上，宇宙的空间维度似乎收敛到了三维，但实际上还存在着六个蜷缩在极小尺度下的维度，这些维度形成了一种被称为卡拉比丘流形的六维几何结构。因此，超弦理论认为宇宙实际上是九维空间加上一维时间，总共是十维时空。后来，在超弦理论的基础上又发展出了m理论，m理论进一步提出了第十一维的膜空间，并且成功地将之前的五种弦理论和超引力理论统一了起来。然而，需要注意的是，无论是超弦理论还是m理论，目前都还仅仅处于数学理论的自洽阶段，虽然它们在理论上非常优美，但还缺乏足够的实验证据来证实其正确性。在未来的科学研究中，寻找能够验证这些理论的实验现象将是物理学家们面临的一个巨大挑战。
10 高维空间：作为生活在三维空间中的生物，我们很难直接想象高维空间的样子，但我们可以通过类推的方法来尝试理解。零维空间可以看作是一个点，它没有长度、宽度和高度；一维空间则是一条线，它由无数个点组成，要确定一条一维空间的线，需要两个零维的点来进行限制；二维空间是一个面，它由无数条线组成，要确定一个二维空间的面，需要四根一维的边线来进行限制；三维空间是一个体，它由六个二维的表面组成，比如一个正方体就有六个面。同理，四维空间中的超立方体是由八个三维的立方体作为它的表体。在二维空间中，一个正方形的一条边除了与它相对的边之外，会与其他两条边相交；在三维空间中，一个正方体的一个面除了与它相对的面之外，会与其他四个面相交；而在四维空间中，一个超立方体的一个三维表体除了与它相对的表体之外，会与其他六个表体有一个面相交。我们可以在三维空间中画出四维立方体的投影，但需要注意的是，这个投影并不是四维立方体的真实样子。在四维空间中，四维立方体的边长是相等的，它的每个表面都是正方形，并且它的八个正方体都是一样大的。如果真的存在四维空间生物，那么它们将能够看到三维空间的全貌，甚至可以在不破坏三维物体表面的情况下，直接拿走物体内部的东西。例如，在电影《星际穿越》中，男主库珀在掉进黑洞之后，进入了一个四维超立方体（也就是五维时空），在那里他能够从各个角度看到地球上的女儿，这就是电影中对高维空间概念的一种形象展示。虽然我们通过类推能够对高维空间有一些初步的理解，但人类对空间的认识仍然处于一个非常初级的阶段，我们的思维常常受到自身感官和直觉的限制。要想真正深入地理解空间的本质，尤其是高维空间的奥秘，我们需要不断地突破思维的极限，借助数学、物理学等多学科的知识和研究方法，才有可能逐渐窥探到宇宙时空的真实面貌。
数学家证实四维空间真实存在？《一》
空间维度概念
- 零维是一个无限小的点，点拉伸成线成为一维空间，此空间仅有长度。
- 一维空间延展相交形成二维空间，二维空间有长和宽，其中的生物能够在整个平面上移动，然而无法上下移动。
- 三维空间在二维空间的基础上演变而来，即在一个平面上增添了高度，就像房子可以用长宽高三个参数来描述其几何图形，空间维度便是用于描述物体几何图形所需的参数数量。例如，1914年爱因斯坦提出了一个意义深远的问题：为何我们的世界是三维的？在科幻大师刘慈欣的《三体》里，外星高维度文明发现地球坐标后，向太阳系发射一片“二向箔”，把太阳系从三维空间变成了二维空间，所有立体物都被压成没有厚度的平面，这种打击方式被称为“降维打击”，这也引发了人们对高维度空间生物是否能轻易消灭低维度空间生物的思考。
黎曼几何诞生背景
- 早在19世纪中叶，数学家们为了破解空间维度的密码，创造出了一门全新的几何学——黎曼几何。爱因斯坦成为了黎曼几何的最大受益人，因为黎曼几何成为了支撑广义相对论的基石。黎曼几何的出现预示着我们生活的空间远没有想象的那么简单，我们对于空间原有的认知将被推翻。那么，黎曼又是如何从几何学中发现并证实空间维度的呢？这事儿还得从头说起。
数学家证实四维空间真实存在？《二》
黎曼的成长与天赋展现
- 1826年，在德国北部的一个小村庄，诞生了一个改变世界的人——波恩哈德·黎曼。他的父亲是一名乡村牧师，虽然生活比较清贫，但很受人尊重。黎曼小时候体弱多病并且不爱说话，在外人看来，他是一个极其“古怪”的孩子，不过在成长过程中，他展示出了非同寻常的智力。大约六岁时，黎曼开始学习算术，一开始就展现出对数学极高的天赋。十岁时，他跟着专职教师舒尔茨学习高等算术和几何，很快舒尔茨就发现，不是黎曼跟着自己学，而是自己在跟着这个学生的思路走。在几何问题上，年仅十岁的黎曼常常有比老师舒尔茨更好的解题方法。
求学经历与高维几何思想启蒙
- 黎曼的数学天赋被他的中学校长施马尔富斯注意到，校长特许他不用上数学课，可以随意进入图书馆。在图书馆内，黎曼发现了影响他一生的宝藏——法国科学家勒让德所着的《数论》。这本书激发了黎曼对素数之谜的极大兴趣。素数是一个大于1的自然数，除了1和它本身之外不能被其他整数整除，像2、5、19、137等数。这些数在数论研究中有着极大的重要性，因为所有大于1的正整数都可以表示成它们的乘积。从某种意义上讲，素数在数量中的地位类似于物理世界中用以构筑万物的原子。黎曼试图改进勒让德记载的一个用来估计小于任意给定数的素数近似数的经验公式，没想到在改进过程中诞生了至今仍是最困难的数学难题之一的黎曼猜想。1859年，黎曼才将他的这一猜想在其撰写的关于小于某个给定量的素数数目的论文中公布。然而，黎曼的求学之路并非一帆风顺。当时的欧洲大学集体涨学费，直到两年后，1846年黎曼的父亲攒够钱，他才顺利进入哥廷根大学学习哲学和神学，这一年黎曼正好二十岁。在哥廷根，他遇到了伟大的老师——德国数学物理学家、历史上最重要的数学家之一卡尔·弗里德里希·高斯。高斯很早就萌发了高维几何的想法，也曾向同事提起把假设完全生活在二维表面的“书虫”推广到高维空间的几何学中去，但由于他害怕遭到保守派的迫害，没有发表任何相关的论文和演讲。黎曼成为高斯的得意门生后，高斯非常喜欢这个数学天赋极高的年轻人，也经常与黎曼分享他的好奇心，让黎曼重新制定欧几里得几何的基础，以一种可以将曲面纳入通常三维之外的方式。实际上，在19世纪中后期，一部分数学家们对重新制定欧几里得的几何基础兴趣浓烈，他们也提出了和后来爱因斯坦同样的问题：宇宙有三维空间，那么四维是什么样子的呢？五维、十维、无穷维又是什么样子的呢？为了解开心中的疑惑，数学家们在任意空间维数的几何上做了大量工作，这些几何违反了欧几里得的一个或者多个公理。遗憾的是，当时数学界的主流思想认为对第四维度的思考是一种荒诞的行为，并不认可。英国数学家、物理学家沃利斯在他的《代数论》中把第四维度描述为“自然界中的怪物”，不过这些不成熟的高维几何思想却为黎曼提供了灵感。
数学家证实四维空间真实存在？《三》
博士论文及早期影响
- 1851年，二十六岁的黎曼提交了他的博士论文《单复变量函数的一般理论基础》，他的想法深入地影响了复变函数和复几何两门学科的发展，这篇论文被认为是复分析学科的重大突破，是数学的永恒财富。黎曼也因此成为了复变函数论的奠基人之一。
任职资格试讲与黎曼几何的诞生
- 此时的黎曼和大多数毕业生一样面临着择业难题，他希望自己能够留在哥廷根大学任教。不过当时的德国对毕业生获得留校任教的资格有着严格的要求，黎曼还必须要通过另一场答辩。经过两年多的筹划，黎曼为任职资格试讲准备了三个选题：“论函数作为三角级数的可表示性的问题的历史”“论两个未知数的两个二次方程的解”“论奠定几何学基础之假设”。黎曼原本不打算讲“几何基础”这个选题，因为他对其准备并不充分，且这不是他的长项，所以他把这个选题放在最后，然而却被导师高斯选中了。于是，黎曼只能硬着头皮上，好在他并没有让高斯失望。1854年，在其导师高斯的协助下，黎曼在哥廷根大学发表了《论作为几何学基础的假设》的演讲，这就是我们今天所说的黎曼几何。对于当时的数学界来说，黎曼的思想过于超前，据说现场除了高斯对其演讲内容深度赞赏之外，其余在场嘉宾几乎无人能够听懂，黎曼和他的思想也因此不受待见。而这份对几何学具有开创性的演讲稿直到黎曼去世的两年后才被正式出版。黎曼的伟大之处在于他开创了高维抽象几何的研究，处理几何问题的方法和手段是几何史上一场深刻的革命，建立了一种全新的几何体系。在随后的六十多年里，黎曼的演讲稿几乎无人问津，只有极少数的数学家会翻看。可谁也没想到，现代物理学的奠基人阿尔伯特·爱因斯坦看到黎曼的演讲后受到了极大的启发，并将其作为广义相对论的基础，黎曼几何才真正踏上了历史的舞台。按照爱因斯坦本人的评价，当时的物理学家们距离这种思维方式还差得很远。不过在此后的一百多年里，黎曼几何已经逐渐演化成为现代科学的一块重要基石，时至今日，黎曼几何对现代几何乃至数学和科学各分支的发展都产生了巨大的影响。那么，黎曼究竟是怎么想的呢？当你了解了他的思路之后，一定会拍案叫绝。
数学家证实四维空间真实存在？《四》
黎曼几何中的空间认知突破
- 在黎曼演讲的《论作为几何学基础的假设》中，他描绘了一种全新的物理景象，与高斯的“书虫”概念很相似。如果一张纸上面生活着二维生物，当我们把这张纸褶皱后，这些二维生物依然会觉得世界是平坦的，因为它们的身体也会跟着纸张一同变褶皱。但当它们在褶皱的纸上运动时，就会感到有一股看不见的“力”阻止它们沿着直线运动，当它们的身体越过纸上的一道皱纹，它们都会被推得左右摇晃。这是自牛顿之后两百年以来，人类首次在思想上对空间认知的突破。黎曼成为了第一个认为力是由空间变形造成的人。接着，黎曼把我们生活的三维空间想象成四维空间中褶皱的纸，由此可以得到这样的结论：宇宙是弯曲的。虽然我们看不到空间的弯曲，但我们却在弯曲的空间中运动，你会感到好像有一股神秘的力量在拉拽着我们，让我们左摇右晃。黎曼认为这种力不仅是引力，他推断电力、磁力也归结于宇宙在第四维空间的褶皱，只是我们看不见而已。通过引进第四空间维度，黎曼意外地发现自然规律在高维空间中表述时就显得非常简单。
空间的本质与坐标系概念
- 那么，什么是空间呢？空间就是物与物的位置差异度量，是由长度、宽度、高度、大小表现出来的一种几何学概念。空间具有承载物质的性质，能够承载物质变化、移动，所有的物质都能够存在于这个空间，而且在其中运动、相互作用、诞生和消亡。简单地说，空间的本质就是一个集合，组成这个集合的元素既可以是具体的物，也可以是抽象的态。在几何学中，你可以把空间理解为是无数个点构成的集合，无论是一条直线还是曲线，亦或是一个平面或者是曲面，都可以把它们看作是由无数个点构成的集合，所以这些图形都是空间。如果我们在这个空间上放一些观察者，而每一个观察者都可以根据自己的视角建立一个独属于自己的坐标系，这种坐标系也被称为本地坐标参考系。那么，这种坐标系可不可以更换呢？比如，有一个观察者想把自己的二维坐标系更换成一个更炫酷的极坐标系，可不可以呢？完全没有问题。对于一个空间中的观察者来说，空间本身是一个客观的存在，参考系则是一个人为的概念，只要你高兴，你可以随意绘制出想要使用的地图版本，可以把自己所在的位置设置成地球的中心都没有问题，地球仍然是那个地球，不会因为观察者而改变，但是观察者绘制的地图则是一个人为的结果，所以某半岛绘制的地图总是以自己为中心。
黎曼几何的具体内容与应用
- 一句话概括，黎曼几何是研究内蕴与外嵌几何的几何分支。通俗来讲，就是我们可能生活在弯曲的空间中，比如一只生活在球面的蚂蚁，作为生活在弯曲空间中的个体，我们并没有足够多的智慧去把我们的弯曲嵌入到更高维度的空间中去研究，就好比蚂蚁只懂得在球面上爬，不能从“三维空间的曲面”这一观点来认识球面，因为球面就是它们的世界。举一个简单的例子，比如我们地球的表面就可以看作是一个嵌入到三维空间的二维曲面，或者是二维的流形。站在三维视角来看，我们可以很容易地画出球面的球心、半径、周长还有法线，要表达这几个元素就必须要满足一个硬性条件，就是三维的外部视角，因为它们并不存在于这个球面本身的空间里面。既然这些东西不是在球面的内部，就不能把这些东西定义为内蕴，于是科学家们用一个新词“外嵌”形容。如果把这个球面给展开，这些外嵌的几何量就会消失不见，这个时候一个生活在低维空间的观察者仍然可以观察到的几何属性也就只有内蕴了。简单地说，你任意画的一条曲线，而这条曲线的长度并不依赖于某个高维视角的存在而存在，因为曲线的长度就是我们所说的内蕴几何量。搞清楚了内蕴几何后，即便身处弯曲空间中，我们依然能够测量长度、面积、体积等，我们依旧能够算微分、积分，甚至我们能够发现我们的空间是弯曲的。我们熟知的欧几里得几何适用于平面空间，如点、线、平面等。在椭圆几何中，欧几里得的第五公理——平行公理就不适用，因为在曲线几何中没有平行线。这个时候黎曼几何就派上了用场，它适用于曲面空间，如圆柱、球面、环面等。我们知道在平面空间中三角形三个角的总和等于一百八十度，而在弯曲空间中三角形的内角和不是大于就是小于一百八十度，因为三角形的边在球面上是向外弯曲的，在双曲线上是向内弯曲的。在平坦空间中两点之间最短的距离是一条直线，可以用距离公式计算，而在弯曲空间中，直线被称为测地线，它表示局部距离最小路径，同时两点之间存在多个测地线。自从黎曼的演讲走红之后，所有的数学家们没有人再去研究欧几里得的几何，纷纷投入到研究黎曼几何的热潮中。黎曼通过引入第四空间维度，无意间探知到了自然定律在高维度空间会变得更加简单的秘密，他用极其简洁的方式表达了它的核心内容，就是将勾股定理推广到高维空间的几何学中去，简单地说，就是通过直角三角形的三边长度关系定理a2 + b2 = c2推广形成了一个三维立方体三边与对角线关系就变成了a2 + b2 + c2 = d2。黎曼改变了我们对空间的认知，从平面转变为曲面，一个普通的二维面只需要三个数字就能够描述它所有的状态，但在四维空间中，黎曼发现至少需要十个数字才能完全描述其状态，这些数字被称为黎曼度规张量，并且预示着物理学的未来发展方向。那么，黎曼几何又是如何成为支持爱因斯坦广义相对论的基石的呢？
数学家证实四维空间真实存在？《五》
爱因斯坦与相对论的发展
- 1905年，爱因斯坦发表了他的第一篇惊世之论——狭义相对论。在狭义相对论中，爱因斯坦主要关注的是它的物理性质和解释，而不是任何数学构造。狭义相对论破除了绝对的时空观，不再存在绝对时间，更不存在绝对空间，时间和空间之间是有关系的，但它们没有弯曲。同时，爱因斯坦也没有把引力加入进狭义相对论当中，也就是说，爱因斯坦没有意识到控制大质量物体周围引力场影响的数学规律，这也为广义相对论的诞生埋下了伏笔。后来的研究中，爱因斯坦也意识到了这一点，他认为不能再用单一的标量来表述引力，需要一种全新的几何语言。在瑞士数学家格罗斯曼·马塞尔的帮助下，爱因斯坦发现了黎曼几何的魅力。爱因斯坦在黎曼的演讲稿中找到了他想要的答案，黎曼想出了一个有趣的连接两个曲面的方法，就像两张纸在它们上面各剪一刀，再把它们沿着切口粘在一起，如此一来，我们二维空间的“书虫”就可以通过黎曼切口从一张纸爬到另一张纸上，黎曼切口就像是一个穿越空间的虫洞。黎曼通过度规张量里包括的曲率数值来描述引力，把引力表示为场的概念，但他只是将其作为数学研究，并没有赋予其物理意义。黎曼几何的数学框架对爱因斯坦来说是一个意外的幸运，这也给予了爱因斯坦最大的启发：引力实际上是时空曲率的结果，时空曲率越大，它受到的引力就越大。爱因斯坦以黎曼几何为支撑基础，撰写了广义相对论，在1915年一经发表就轰动了全世界，也让爱因斯坦成为了现代最伟大的物理学家之一。
对人类进入四维空间的推测
- 那么，人类进入到四维空间或是更高维度的空间后会怎么样呢？按照爱因斯坦的《相对论引论》描述，只有当物体接近光速时才会发生质量变化。所以说，我们只有在达到或接近光速时，就能够进入四维空间，这个空间包含无数个垂直存在的三维空间，在其中穿越质量是相对自由的。简单来说，人生中的每个年龄阶段经历的场景和事件都构成了四维空间中拥挤的组成部分。在三维空间中无法回首过去，但在四维空间却是可以轻松做到。当然，在那里你已经不再是人了，而是更高级别的四维生物。换句话说，现在的你需要以三维的躯体为载体活着，而到了以意识为维度的更高维度的空间当中，躯体就消失了，所有人都以意识的形态存在。这意味着三维空间的你虽然死了，但是在更高维度的空间当中你却活着。