登入之后，五道大题赫然呈现在屏幕上，四个小时的倒计时已经开始跳动。

杨宇科的目光迅速扫过题目，大脑如同精密的仪器般飞速运转，瞬间锁定了每道题的解题关键。

第一题：设n为正整数，s为n元集合，a1,a2,…,am为s的子集，满足对于任意1≤i,j≤m，i≠j，均有|ainaj|≤1。

证明：若|ai|≥2，则m≤n(n-1)\/2。

这道题考察的是组合数学中的极值问题，需要巧妙地运用鸽巢原理和反证法。

杨宇科的嘴角微微上扬，这道题对他来说毫无难度。

他迅速在草稿纸上写下解题思路，然后开始在电脑上敲击键盘，输入解答过程。

第二题：设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0，f&39；&39；(x)在[0,1]上连续。

证明：存在ξ∈(0,1)，使得f&39；&39；(ξ)≥4∫(0,1)f(x)dx。

这道题是典型的微分中值定理的应用，需要构造辅助函数，并多次运用罗尔定理和拉格朗日中值定理。

杨宇科的眼神中闪过一丝精芒，这道题的难度比第一题略高，但也难不倒他。

他继续奋笔疾书，再将解题过程一步步地呈现在屏幕上。

第三题：设a为n阶实对称矩阵，且a的特征值均为正数。

证明：对于任意n维实向量x，均有xt a x ＞ 0。

这道题考察的是线性代数中的二次型和正定矩阵的知识，需要熟练掌握矩阵的特征值和特征向量的性质。

杨宇科的眉头微微皱起，这道题的证明需要一些技巧，但他很快就找到了突破口。

他淡淡一笑，开始在电脑上输入证明过程，每一个步骤都严谨而清晰。

第四题：设f(x)在[a,b]上连续，且∫(a,b)f(x)dx=0。

证明：存在c∈(a,b)，使得∫(a,c)xf(x)dx=0。

这道题是积分中值定理的变形，需要巧妙地运用积分第一中值定理和积分第二中值定理。

杨宇科的眼神中闪过一丝狡黠，这道题的证明需要一些创造力，但他已经想到了一个绝妙的解法。

他迅速在草稿纸上写下关键步骤，然后开始在电脑上输入完整的证明过程。

第五题：设p(x)为n次实系数多项式，且p(x)在实数域上无实根。

证明：对于任意实数a，多项式p(x)+ap&39；(x)在实数域上亦无实根。

这道题是代数学中的难题，需要运用多项式的导数和罗尔定理的推广形式。

杨宇科的眼神变得凝重起来，这道题的难度远超前四题，是他遇到的最大的挑战。

他眼珠微微一转，开始脑海中进行推导，试图找到证明的关键。

时间一分一秒地过去，杨宇科做起题来显得很轻松。

他的大脑高速运转，各种数学公式和定理在他的脑海中飞速闪现。

突然，一道灵光闪过，杨宇科的眼神中爆发出兴奋的光芒，他找到了！

他迅速在草稿纸上写下关键步骤，然后开始在电脑上输入完整的证明过程。

每一个步骤都如同精密的齿轮般完美契合，最终导向了正确的结论。

十几分钟后，杨宇科长舒一口气。

他完成了所有题目的解答，并点击了提交按钮。

屏幕上显示“提交成功”，杨宇科的脸上露出了轻松的笑容。

他靠在椅背上，闭上眼睛，享受着胜利的喜悦。

这五道题，每一道都堪称数学竞赛中的难题。